Sens de variation d'une fonction (A)

Les courbes de certaines fonctions peuvent se déduire des courbes des fonctions de référence, telles que les fonctions affines, les fonctions carré, inverse et racine carrée, par des transformations géométriques simples (translations, symétries axiales, etc.). Ainsi, on peut connaître le sens de variation de ces fonctions dites « associées aux fonctions de référence », si l'on connaît celui des fonctions de référence.

On peut également connaître, dans certains cas, le sens de variation de la somme ou de la composée de deux fonctions, si l'on connaît celui de chacune de ces deux fonctions.

Dans toute la suite, u désigne une fonction représentée par la courbe C dans un repère du plan ; v désigne une autre fonction et k est un réel non nul.

1. Quel est le sens de variation des fonctions de référence ?

Il est important de connaître l'allure des courbes des fonctions de référence et donc leur sens de variation.

Le sens de variation d'une fonction affine, du type  , où a et b sont réels, dépend du signe de son coefficient a.

La fonction carré est décroissante sur et croissante sur .

La fonction inverse est décroissante sur les intervalles et .

La fonction racine carrée est croissante sur .

2. Quel est le sens de variation de la fonction qui à x associe u(x + k), connaissant celui de u ?

La courbe de la fonction est l'image de la courbe C par la translation de vecteur . Ainsi, les variations de f sont les mêmes que celles de u « à une translation près »; par exemple si u est croissante sur un intervalle , alors f est croissante sur l'intervalle .

3. Quel est le sens de variation de la fonction qui à x associe u(x) + k, connaissant celui de u ?

La courbe de la fonction est l'image de la courbe C par la translation de vecteur . Ainsi, les variations de g sont les mêmes que celles de u.

4. Quel est le sens de variation de la fonction qui à x associe ku(x), connaissant celui de u ?

Si  , les fonctions u et ku ont le même sens de variation.

Si  , les fonctions u et ku ont des sens de variation opposés.

Remarque

Dans le cas particulier où  , la courbe de est l'image de la courbe C par la symétrie axiale d'axe .

5. Quel est le sens de variation de la fonction qui à x associe |u(x)|, connaissant celui de u ?

Lorsque C est au-dessus de l'axe  , la courbe de la fonction est confondue avec C : u et ont donc le même sens de variation.

Lorsque C est au-dessous de l'axe  , la courbe de la fonction est l'image de C par la symétrie d'axe  : u et ont donc des sens de variation opposés.

6. Quel est le sens de variation de la fonction qui à x associe u(x) + v(x) , connaissant ceux de u et v ?

Si u et v sont deux fonctions croissantes sur un intervalle J, alors la fonction est croissante sur J.

Si u et v sont deux fonctions décroissantes sur un intervalle J, alors la fonction est décroissante sur J.

Mais lorsque u et v ont des sens de variation contraires, on ne peut rien dire a priori sur le sens de variation de .

7. Quel est le sens de variation de la fonction composée de u et v, connaissant ceux de u et de v ?

Sur des intervalles pour lesquels la fonction est définie :

• si u et v sont croissantes, alors est croissante ;

• si u et v sont décroissantes, alors est croissante ;

• si u et v ont des sens de variations contraires, est décroissante.

À retenir absolument

Les fonctions et  , où , ont le même sens de variation que u.

La fonction a le même sens de variation que u si , et le sens de variation contraire si .

La fonction est croissante (respectivement décroissante) si u et v sont croissantes (respectivement décroissantes).

La fonction est croissante si u et v ont même sens de variation et décroissante si u et v ont des sens de variation contraires.